Decompondo um índice acionário

Na análise do retorno do Ibovespa sem Petrobras, fiz uma decomposição do índice para calcular o retorno na hipótese de exclusão da petrolífera do índice. Nesse texto, vou explicar como isso foi feito e apontar um erro no meu cálculo original. Começo com uma descrição sobre como os índices acionários são calculados para então mostrar como excluir uma ação do índice.

Os índices acionários são calculados multiplicando a quantidade teórica de cada ação e multiplicando pelo seu preço e depois somando o resultado dessas multiplicações. Ou:

O resultado da quantidade teórica de uma ação com seu preço resulta no valor da ação dentro do índice. O peso dessa ação no índice é resultado da divisão do valor da ação dentro do índice pela pontuação total do índice.

Esse peso muda diariamente de acordo com as variações das ações. Desvalorização de um ativo acompanhada de valorização do índice resulta em diminuição do peso da ação dentro do índice e vice-versa.

Os índices calculados pela BM&F Bovespa (exceto o ISE) são revisados quadrimestralmente em Janeiro, Maio e Setembro modificando a última carteira do mês anterior (Dezembro, Abril e Agosto). A revisão segue os critérios de cada índice, sendo um critério para a escolha das ações (escolher um grupo de ações que corresponda a 80% do total dos índices de negociabilidade, pegando o exemplo do Ibovespa) e outro para ponderar as ações (critério de liquidez, medida pelo índice de negociabilidade, pegando o exemplo do Ibovespa). Seguindo esse critério de ponderação das ações, o valor do Ibovespa é decomposto e cada ação recebe uma parcela da pontuação total. A quantidade de ações é definida como a divisão do valor que a ação deve ter no índice depois da revisão pelo seu preço. Por exemplo: O índice ao final de Dezembro, Abril ou Agosto está em 70.000 pontos, a ação deveria ter 10% de peso segundo o critério de ponderação, o que equivale a ter 7.000 pontos e, com a ação a R$ 7,00, a quantidade teórica dessa ação é de 1.000 ações. Essa quantidade é ajustada supondo o reinvestimento dos proventos ao preço ex-proventos, de forma que esses eventos não afetam a pontuação e a variação do índice. O cuidado que deve ser tomado é não utilizar as quantidades teóricas de um período (mês anterior, por exemplo) e multiplicá-las pelo preço em outro período (hoje, por exemplo) sob o risco de ter havido um evento que tenha mudado a quantidade teórica de ações.

O que ocorreu com frequencia nos últimos anos era a Vale se valorizar mais do que a Petrobras e se tornar a ação com maior peso no índice por conta disso. Porém, a Petrobras voltava ao topo após a revisão do índice porque tinha maior liquidez do que a Vale. Ou seja, depois da revisão, os pesos voltam a ser o que deveriam ser. Isso mudou em setembro de 2010, quando a Vale passou a ter mais liquidez nos últimos 12 meses do que a Petrobras.

Seria possível manter a carteira com os pesos das ações constantes, revisando diariamente a carteira, mas isso dificultaria ainda mais a possibilidade de replicar o índice teórico, diminuindo a utilidade como um referencial de desempenho. Nos meus comentários após a revisão dos índices, o peso das 10 principais ações está conforme a carteira após a revisão (a carteira revisada do final do mês anterior à revisão). No meu texto sobre a história do Ibovespa, os pesos também são de acordo com a revisão da carteira. Escrevi que a Vale ficou poucas vezes como a principal ação do Ibovespa, isso ocorrendo considerando as carteiras após a revisão.

Para calcular o valor do índice sem algumas ações, basta calcular o índice da forma mostrada acima e excluir as ações indesejadas. Quando da oferta subseqüente primária (não OPA e muito menos IPO) da Petrobras, realizei esse cálculo tentando imaginar como seria o Ibovespa sem PETR3 e PETR4, que vinham tendo um mau desempenho na época. Estava correta a forma de calcular o índice sem esses ativos, porém, a comparação entre a carteira sem Petrobras em Agosto com a carteira sem Petrobras em dezembro de 2009 estava incorreta.

Essa análise foi feita supondo que um investidor tivesse comprado todas as ações do Ibovespa ao preço de encerramento do ano nas quantidades indicadas pelo Ibovespa (após a revisão) exceto a Petrobras, simplesmente deixando de comprá-la. Não é necessário recalcular os pesos ou as quantidades, basta tirar PETR3 e PETR4 da carteira. Comparar a carteira sem Petrobras no final de Abril (antes da revisão) com a carteira em dezembro de 2009 está correto, porém, a revisão quadrimestral muda os pesos dentro das carteiras de forma que não se pode comparar a carteira sem Petrobras no final de Maio com a do final de Abril.

A solução é focar no retorno mensal e não tanto nos valores das carteiras. Para os três primeiros meses, utilizar retornos ou valores das carteiras têm o mesmo resultado. O retorno em Abril de 2010 deve ser calculado utilizando as quantidades teóricas antes da revisão da carteira. Já o retorno de Maio deve ser calculado utilizando as quantidades no final de Maio (já naturalmente após a revisão) e a carteira no final de maio após a revisão.

Na planilha, na pasta “Decomposição”, calculei o valor de cada ação. O valor da soma está muito próximo ao valor divulgado do Ibovespa, com erros de no máximo dois pontos (ou 0,00%) de forma que o cálculo é bem confiável. Note-se as carteiras antes e depois da revisão (há duas linhas para Abr/10, Ago/10 e Dez/10, a primeira antes e a segunda depois). A carteira antes é calculada com o preço de fechamento no final de Abril e com as quantidades teóricas antes da revisão. A carteira depois da revisão é calculada utilizando as quantidades da nova carteira teórica e os preços ajustados por proventos, já que a nova composição leva em consideração o preço ex-proventos distribuídos no final de abril.

Em abril, a carteira sem Petrobras valia 57.843 pontos antes da revisão e valia 58.500 depois, ou seja, além da perda de participação pela desvalorização, houve a perda por conta de uma menor liquidez relativa das ações da Petrobras em relação às demais.

O mesmo procedimento é feito em agosto e (desnecessariamente) em dezembro. Os retornos da carteira sem Petrobras entre maio e agosto levam em conta a composição após a revisão em maio e os retornos entre setembro e dezembro levam em conta a carteira após a revisão de setembro.

Uma alternativa que tinha aplicado anteriormente e achava que seria mais simples é calcular a carteira no final de dezembro de 2009 e ir aplicando os retornos mensais das ações no valor dentro do índice. Isso não exigiria utilizar as quantidades teóricas mês a mês, mas ainda precisaria revisar quadrimestralmente. Acabou sendo mais complicado (talvez por falhas na planilha anterior), mas também pode ser feito assim. Outra possibilidade seria recalcular o valor das ações dentro do índice recompondo a carteira. Os 57.843 da carteira sem Petrobras no final de abril seriam divididos entre as ações que compõem o Ibovespa sem Petrobras após a revisão, aplicando as mudanças de pesos exclusivamente para as ações que não sejam da petrolífera. Isso é mais realista, porém, para efeitos de cálculos de retorno mensal, tem o mesmo resultado com muito mais trabalho. O único benefício é que não seria mais necessário utilizar os retornos mensais para chegar ao retorno mensal, podendo utilizar o valor da carteira no final de 2010 com e comparar com o final de 2009. Isso pode ser conferido na tabela “Recomposição”, válido para o mês de Maio (perceba que o retorno da carteira recomposta tem o mesmo valor calculado anteriormente).

Os retornos mensais são colocados em uma série (ver as células começando em A22 na pasta “Decomposição”). É atribuído o valor 100 para dezembro de 2009, o retorno de janeiro é aplicado sobre esses 100, o de janeiro sobre o resultado da conta anterior e assim sucessivamente. No fim, a carteira teria o valor de 105,24, ou seja, sem Petrobras, o índice teria subido 5,24%. Por um acaso, próximo dos 5,11% calculados erroneamente anteriormente.

O exemplo utilizado foi de carteira sem Petrobras, mas certamente que as considerações aqui feitas podem ser aplicadas para diferentes fins. Alguém poderia, por exemplo, calcular o Ibovespa sem IPOs, sem bancos, sem Souza Cruz, sem Ambev ou sem o que a pessoa desejar, mantendo o resto da metodologia do índice. E, claro, outro índice além do Ibovespa pode ser utilizado, sem muitas mudanças na forma de cálculo (exceto o Dow Jones Industrial Average).

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